Посмотрите на эту карту и скажите, какая территория больше по площади: Гренландия, помеченная белым, или Австралия, помеченная оранжевым? Кажется, что Гренландия больше Австралии раза в три по крайней мере.

Но, заглянув в справочник, мы к своему удивлению прочитаем, что площадь Австралии составляет 7,7 млн км 2 , а площадь Гренландии - только 2,1 млн км 2 . Так что Гренландия кажется такой большой только на нашей карте, а в действительности она меньше Австралии примерно в три с половиной раза. Сравнивая эту карту с глобусом, можно заметить, что чем дальше от экватора находится территория, тем сильнее она растянута.

Карта, которую мы с вами рассматриваем, построена с помощью картографической проекции, которую придумал в XVI веке фламандский учёный Герард Меркатор . Он жил в эпоху, когда прокладывались новые торговые пути через океаны. Колумб открыл Америку в 1492 году, а первое кругосветное плавание под руководством Магеллана состоялось в 1519–1522 годах - когда Меркатору было 10 лет. Открытые земли надо было наносить на карты, а для этого надо было научиться изображать на плоской карте круглую Землю. И карты надо было делать такими, чтобы капитанам было удобно ими пользоваться.

А как капитан пользуется картой? Он прокладывает по ней курс. Мореплаватели XIII–XVI века пользовались портуланами - картами, на которых изображался бассейн Средиземного моря, а также лежащие за Гибралтаром побережья Европы и Африки. На такие карты была нанесена сетка румбов - линий постоянного направления. Пусть капитану нужно проплыть в открытом море от одного острова до другого. Он прикладывает к карте линейку, определяет курс (например, «на юго-юго-восток») и отдаёт рулевому приказ держать этот курс по компасу.

Идея Меркатора состояла в том, чтобы сохранить принцип прокладки курса по линейке и на карте мира. То есть, если держать по компасу постоянное направление, то путь на карте будет прямой. Но как это сделать? И здесь на помощь картографу приходит математика. Мысленно разрежем глобус на узкие полоски по меридианам, как показано на рисунке. Каждую такую полоску можно без особых искажений развернуть на плоскости, после чего она превратится в треугольную фигуру - «клин» с искривлёнными боковыми сторонами.

Однако глобус при этом оказывается рассечённым, а карта должна быть сплошной, без разрезов. Чтобы этого добиться, разделим каждый клин на «почти квадраты». Для этого из нижней левой точки клина проведём отрезок под углом 45° до правой стороны клина, оттуда проведём горизонтальный разрез до левой стороны клина - отрезали первый квадрат. Из точки, где кончается сделанный разрез, снова проведём отрезок под углом 45° до правой стороны, потом горизонтальный - до левой, отрезая следующий «почти квадрат», и так далее. Если исходный клин был очень узким, «почти квадраты» будут отличаться от настоящих квадратов совсем незначительно, поскольку их боковые стороны будут почти вертикальными.

Выполним завершающие действия. Выпрямим «почти квадраты» до настоящей квадратной формы. Как мы поняли, искажения при этом можно сделать сколь угодно малыми, уменьшая ширину клиньев, на которые мы режем глобус. Квадраты, прилежавшие на глобусе к экватору, выложим в ряд. На них уложим по порядку все остальные квадраты, растянув их перед этим до размеров приэкваториальных квадратов. Получится сетка из квадратов одного размера. Правда, при этом параллели, равноотстоящие на карте, уже не будут равноотстоящими на глобусе. Ведь чем дальше исходный квадрат на глобусе отстоял от экватора, тем большему увеличению он подвергся при переносе на карту.

Однако углы между направлениями при таком построении останутся неискажёнными, потому что каждый квадрат практически только изменился в масштабе, а направления при простом увеличении картинки не меняются. И именно этого добивался Меркатор, когда он придумывал свою проекцию! Капитан может прокладывать свой курс на карте по линейке и вести по этому курсу свой корабль. При этом корабль будет плыть по линии, идущей под одним и тем же углом ко всем меридианам. Эта линия называется локсодромией .

Плавание по локсодромии очень удобно, поскольку оно не требует никаких специальных расчётов. Правда, локсодромия не является кратчайшей линией между двумя пунктами на земной поверхности. Такую кратчайшую линию можно определить, натянув на глобусе нитку между этими пунктами.

Художник Евгений Паненко

В пеших путешествиях и велопоездках незаменимым спутником исследователя является топографическая карта. Одной из задач картографии (одной из дисциплин такой науки как геодезия ) является изображение криволинейной поверхности Земли (фигуры Земли) на плоской карте. Для решения этой задачи необходимо выбрать эллипсоид — форму трехмерного тела, приближенно соответствующего земной поверхности, датум — начальную точку системы координат (центр эллипсоида) и начальный меридиан (англ. prime meridian ) и проекцию — способ изображения поверхности этого тела на плоскости.

Эллипсоиды и датумы

В разное время для построения карт использовались различные варианты представления поверхности Земли в виде сферы или эллипсоида.

Представление Земли в виде сферы радиусом 6378137 метра (либо 6367600 метров) позволяет определить координаты любой точки на земной поверхности в виде двух чисел — широты $\phi$ и долготы $\lambda$:

Для земного эллипсоида в качестве (географической) широты используется понятие геодезическая широта (англ. geodetic latitude ) φ — угол, образованный нормалью к поверхности земного эллипсоида в данной точке и плоскостью его экватора, причем нормаль не проходит через центр эллипсоида за исключением экватора и полюсов:

Значение долготы (англ. longitude ) λ зависит от выбора начального (нулевого) меридиана для эллипсоида.
В качестве параметров эллипсоида обычно используются радиус большой (экваториальной) полуоси a и сжатие f .
Сжатие $f = {{a-b} \over a}$ определяет сплюснутость эллипсоида у полюсов.

Одним из первых эллипсоидов был эллипсоид Бесселя (Bessel ellipsoid, Bessel 1841 ), определенный из измерений в 1841 году Фридрихом Бесселем (Friedrich Wilhelm Bessel ), с длиной большой полуоси a = 6377397,155 м и сжатием f = 1:299,152815 . В настоящее время он используется в Германии, Австрии, Чехии и некоторых азиатских и европейских странах.

датум Potsdam (PD)

Ранее для построения карт в проекции UTM использовался международный эллипсоид (International ellipsoid 1924 , Hayford ellipsoid ) с длиной большой (экваториальной) полуоси a = 6378388 м и сжатием f = 1:297,00 , предложенный американским геодезистом Джоном Филлмором Хейфордом ( в 1910 году.

Джон Филлмор Хейфорд

датум ED 50 (European Datum 1950 )

• эллипсоид — International ellipsoid 1924
• Greenwich prime meridian )

Для выполнения работ на всей территории СССР с 1946 года (постановление Совета Министров СССР от 7 апреля 1946 г. № 760) использовалась геодезическая система координат СК-42 (Пулково 1942) , основанная на эллипсоиде Красовского с длиной большой (экваториальной) полуоси a = 6378245 м и сжатием f = 1:298,3 . Этот референц-эллипсоид назван в честь советского астронома-геодезиста Феодосия Николаевича Красовского. Центр этого эллипсоида сдвинут по отношению у центру масс Земли примерно на 100 метров для максимального соответствия поверхности Земли на европейской территории СССР.

датум Пулково-1942 (Pulkovo 1942)

• эллипсоид — Красовского (Krassowsky 1940 )
• нулевой меридиан — гринвичский меридиан (Greenwich prime meridian )

В настоящее время (в том числе и в системе GPS ) широко используется эллипсоид WGS84 (World Geodetic System 1984) с длиной большой полуоси a = 6378137 м, сжатием f = 1:298,257223563 и эксцентрисетом e = 0,081819191 . Центр этого эллипсоида совпадает с центром масс Земли.

датум WGS84 (EPSG:4326)

• эллипсоид — WGS84
• нулевой меридиан — опорный меридиан (IERS Reference Meridian (International Reference Meridian)) , проходящий в 5,31″ к востоку от Гринвичского меридиана. Именно от этого меридиана отсчитывается долгота в системе GPS (англ. GPS longitude )
  

Центр системы координат WGS84 совпадает с центром масс Земли, ось Z системы координат направлена на опорный полюс (англ. IERS Reference Pole (IRP)) и совпадает с осью вращения эллипсоида, ось X проходит по линии пересечения нулевого меридиана и плоскости, проходящей через точку начала координат и перпендикулярную к оси Z , ось Y перпедикулярна оси X .

Альтернативой эллипсоиду WGS84 является эллипсоид ПЗ-90 , используемый в системе ГЛОНАСС , с длиной большой полуоси a = 6378136 м и сжатием f = 1:298,25784 .

Преобразования датумов

При простейшем варианте перехода между датумами Пулково-1942 и WGS84 необходимо учитывать только смещение центра эллипсоида Красовского по отношению к центру эллипсоида WGS84 :
рекомендовано в ГОСТ 51794-2001 —
dX = +00023,92 м; dY = –00141,27 м; dZ = –00080,91 м;
рекомендовано в World Geodetic System 1984 . NIMA, 2000 —
dX = +00028 м; dY = –00130 м; dZ = –00095 м.
Следует отметить, что выше приведены усредненные значения коэффициентов, которые для более точного преобразования должны вычисляться для каждой точки земной поверхности индивидуально. Например, для соседней с Беларусью Польшей эти параметры таковы:
dX = +00023 м; dY = –00124 м; dZ = –00082 м (по данным )
Такое преобразование называется трехпараметрическим .
При более точной трансформации (преобразовании Молоденского ) необходимо учитывать разницу между формами эллипсоидов, определяемую двумя параметрами:
da — разница между длинами больших полуосей, df — разница между коэффициентами сжатия (разница в уплощении). Их значения одинаковы для ГОСТ и NIMA :
da = – 00108 м; df = + 0,00480795 ⋅ 10 -4 м.

При переходе между датумами ED 50 и WGS84 параметры преобразования таковы:
da = – 00251 м; df = — 0,14192702 ⋅ 10 -4 м;
для Европы dX = -87 м; dY = –96 м; dZ = –120 м (по данным User’s Handbook on Datum Transformations involving WGS-84, 3-е издание, 2003 ).

Набор из указанных пяти параметров (dX , dY , dZ , da , df ) может вводиться в навигатор или навигационную программу в качестве характеристики используемого пользователем датума.

Проекции

Способ изображения трехмерной земной поверхности на двумерной карте определяется выбранной картографической проекцией .
Наиболее популярны (нормальная ) цилиндрическая проекция Меркатора и такая ее разновидность как поперечно-цилиндрическая проекция Меркатора (Transverse Mercator ).

В отличие от известной в течение веков нормальной проекции Меркатора, которая особенно хороша для изображения экваториальных областей, поперечная проекция отличается тем, что цилиндр, на который проецируется поверхность планеты, повернут на 90°:

Цилиндрическая проекция Меркатора

Сферическая проекция Меркатора

Для сферической проекции действуют следующие формулы перевода широты $\phi$ и долготы $\lambda$ точки на поверхности земной сферы (в радианах) в прямоугольные координаты $x$ и $y$ на карте (в метрах):
$x = (\lambda — {\lambda}_0) \cdot R$ ;
$y = arcsinh (\tan (\phi)) \cdot R =\ln { (\tan{ ({\phi \over 2} + {\pi \over 4} }) }) \cdot R$
(logarithmic tangent formula ) ,
где $R$ — радиус сферы, ${\lambda}_0$ — долгота нулевого меридиана.
Масштабный коэффициент $k$ представляет собой отношения расстояния по сетке карты (англ. grid distance ) к локальному (геодезическому) расстоянию (англ. geodetic distance ):
$k = {1 \over {\cos \phi}}$.
Обратный перевод реализуется с помощью таких формул:
$\lambda = {x \over R} + {\lambda}_0 $ ;
$ \phi = {\pi \over 2} — 2 \arctan(e^{-y \over R}) $ .
Важной для мореплавания особенностью проекции Меркатора является то, что линия румба (англ. rhumb lines ) или локсодрома (англ. loxodrome ) на ней изображается прямой линией.
Локсодрома — это дуга, пересекающая меридианы под одним и тем же углом, т.е. путь с постоянным (локсодромическим ) путевым углом.
Путевой угол , ПУ (англ. heading ) - это угол между северным направлением меридиана в месте измерения и направлением линии пути, отсчитывается по часовой стрелке от направления на географический север (0° применяется для указания направления движения на север, 90° — на восток).
Локсодромы являются спиралями, совершающими неограниченное число витков, приближаясь к полюсам.

Следует отметить, что локсодрома не является кратчайшим путем между двумя точками — ортодромой, дугой большого круга , соединяющей эти точки.

Web Mercator

Вариант меркаторовской сферической проекции используется многими картографическими сервисами, например, OpenStreetMap, Google Maps, Bing Maps.

В OpenStreetMap карта мира представляет собой квадрат с координатами точек по осям x и y , лежащими между -20 037 508,34 и 20 037 508,34 м. Как следствие, на такой карте не показаны области, лежащие севернее 85,051129° северной широты и южнее 85,051129° южной широты. Это значение широты $\phi_{max}$ является решением уравнения:
$\phi_{max} = 2\arctan(e^\pi) — {\pi\over 2} $ .
Как и любой карте, составленной в проекции Меркатора, ей свойственны искажения площадей, наиболее ярко проявляющиеся при сравнении изображенных на карте Гренландии и Австралии:

При прорисовке карты в OpenStreetMap координаты (широта и долгота) на эллипсоиде в системе WGS84 проецируются на плоскость карты так, как будто эти координаты определены на сфере радиусом R = a = 6 378 137 м (перепроецирование) — сферическое представление эллипсоидальных координат («spherical development of ellipsoidal coordinates «). Этой проекции, получившей название Web Mercator ) соответствует EPSG (European Petroleum Survey Group ) код 3857 («WGS 84 / Pseudo-Mercator «).
Перепроецирование из EPSG:4326 в EPSG:3857 ($\phi ,\lambda \rightarrow x,y $) реализуется по вышеприведенным формулам для обычной сферической проекции Меркатора.
На такой карте направление на север всегда соответствуют направлению на верхнюю сторону карты, меридианы представляют собой равноотстоящие друг от друга вертикальные линии.
Но такая проекция в отличие от сферической или эллиптической проекции Меркатора не является равноугольной (конформной ), линии румба в ней не являются прямыми. Линия румба (локсодром ) — это линия пересекающая меридианы под постоянным углом.
Преимуществом рассматриваемой проекции является простота вычислений.

В указанной проекции карта может быть расчерчена прямоугольной сеткой координат (по значениям долготы и широты).
Привязку карты (сопоставление прямоугольных координат на карте и географических координат на местности) можно осуществить по $N$ точкам с известными координатами. Для этого необходимо решить систему из $2 N$ уравнений вида
$X = \rho_{\lambda} \lambda — X_0$ , $Y = arcsinh (\tan (\phi)) \cdot \rho_{\phi} — Y_0 $ .
Для решения системы уравнений и определения значений параметров $X_0$ , $Y_0$ , $\rho_{\lambda}$ , $\rho_{\phi}$ можно использовать, например, математический пакет Mathcad .
Для проверки правильности привязки карты можно определить отношение длин сторон прямоугольника построенной сетки. Если горизонтальная и вертикальная стороны прямоугольника соответствуют одинаковой угловой длине по долготе и широте, то отношение длины горизонтальной стороны (дуги параллели — малого круга) к длине вертикальной стороны (дуги меридиана — большого круга) должно быть равно $\cos \phi$ , где $\phi$ — географическая широта места.

Эллиптическая проекция Меркатора

Эллиптическая проекция Меркатора (EPSG:3395 — WGS 84/World Mercator ) используется, например, сервисами Яндекс.Карты , Космоснимки.
Для эллиптической проекции действуют следующие формулы перевода широты $\phi$ и долготы $\lambda$ точки на поверхности земной сферы (в радианах) в прямоугольные координаты $x$ и $y$ на карте (в метрах):
$x = (\lambda — {\lambda}_0) \cdot a$ ;
$y = a \ln (\tan ({\pi \over 4} + {\phi \over 2}) ({{1 — e \sin {\phi}} \over {1 + e \sin {\phi}}})^{e \over 2}) $ ,
где $a$ — длина большой полуоси эллипсоида, $e$ — эксцентриситет эллипсоида, ${\lambda}_0$ — долгота нулевого меридиана.
Масштабный коэффициент $k$ определяется выражением:
$k = {{\sqrt {(1 — {e^2} {{(\sin \phi)}^2})}} \over {\cos \phi}} $ .
Обратный перевод реализуется с помощью таких формул:
$\lambda = {x \over a} + {\lambda}_0 $ ;
$ \phi = {\pi \over 2} — 2 \arctan(e^{-y \over a} ({{1 — e \sin {\phi}} \over {1 + e \sin {\phi}}})^{e \over 2}) $ .
Широта вычисляется по итерационной формуле, в качестве первого приближения следует использовать значение широты, вычисленной по формуле для сферической проекции Меркатора.

Поперечно-цилиндрическая проекция Меркатора

Чаще всего используются две разновидности поперечно-цилиндрической проекции Меркатора — проекция Гаусса-Крюгера (англ. Gauss — Krüger ) (получила распространение на территории бывшего СССР) и универсальная поперечная проекция Меркатора (англ. Universal Transverse Mercator (UTM )).
Для обеих проекций цилиндр, на который происходит проекция, охватывает земной эллипсоид по меридиану, называемому центральным (осевым) меридианом (англ. central meridian, longitude origin) зоны. Зона (англ. zone ) - это участок земной поверхности, ограниченный двумя меридианами с разностью долготы в 6°. Всего существует 60 зон. Зоны полностью покрывают поверхность Земли между широтами 80°S и 84°N.
Отличие двух проекций заключается в том, что проекция Гаусса-Крюгера — это проекция на касательный цилиндр, а универсальная поперечная проекция Меркатора — это проекция на секущий цилиндр (для избежания искажений на крайних меридианах):

Проекция Гаусса-Крюгера

Проекция Гаусса-Крюгера была разработана немецкими учёными Карлом Гауссом и Луи Крюгером.
В этой проекции зоны нумеруются с запада на восток, начиная с меридиана 0°. Например, зона 1 простирается с меридиана 0° до меридиана 6°, ее центральный меридиан 3°.
В советской системе разграфки и номенклатуры топографических карт зоны называются колоннами и нумеруются с запада на восток, начиная с меридиана 180°.
Например, Гомель и окрестности относятся к зоне 6 (колонне 36 ) с центральным меридианом 33°.
Зоны/колонны делятся параллелями на ряды (через 4°), которые обозначаются заглавными латинскими буквами от А до V , начиная от экватора к полюсам.
Например, Гомель и окрестности относятся к ряду N . Таким образом, полное название листа карты масштаба 1:1 000 000 (10 км в 1 см), изображающей Гомель, выглядит как N-36 . Этот лист делится на листы карт более крупного масштаба:


Для Беларуси и соседних стран разграфка такова:

Для определения по топографической карте положения точки на карту наносят сетку прямоугольных координат X и Y , выраженных в километрах. Она образована системой линий, параллельных изображению осевого меридиана зоны (вертикальные линии сетки, оси X ) и перпендикулярных к нему (горизонтальные линии сетки, оси Y ).
На карте масштаба 1:200 000 расстояние между линиями сетки составляет 4 км; на карте масштаба 1:100 000 - 2 км.
Координата X подписывается на вертикальных краях листа карты и выражает расстояние до экватора, а координата Y подписывается на горизонтальных краях листа карты и состоит из номера зоны (первые одна или две цифры значения) и положения точки относительно центрального меридиана зоны (последние три цифры значения, причем центральному меридиану зоны присваивается значение 500 км).


фрагмент листа N36-123 советской топографической карты масштаба 1:100 000

Например, на вышеприведенном фрагменте карты надпись 6366 возле вертикальной линии сетки означает: 6 — 6-я зона, 366 — расстояние в километрах от осевого меридиана, условно перенесенного западнее на 500 км, а надпись 5804 возле горизонтальной линии сетки означает расстояние от экватора в километрах.

Универсальная поперечная проекция Меркатора

Универсальная поперечная проекция Меркатора (UTM ) была разработана инженерными войсками США (United States Army Corps of Engineers ) в 1940-х годах.

Для построения карт в проекции UTM ранее использовался эллипсоид International 1924 — сетка UTM (International) , а в настоящее время — эллипсоид WGS84 — сетка UTM (WGS84) .
В этой проекции зоны нумеруются с запада на восток, начиная с меридиана 180°.
Эта система используется вооруженными силами США и НАТО (англ. United States and NATO armed forces ):

Каждая зона разделена на горизонтальные полосы через каждые 8° широты. Эти полосы обозначены буквами, с юга на север, начиная от буквы C для широты 80° S и заканчивая буквой X для широты 84° N . Буквы I и O пропущены для избежания путаницы с цифрами 1 и 0. Полоса, помеченная буквой X , занимает 12° по широте.
Зона в этой проекции обозначается номером (англ. longitude zone ) и буквой (каналом широты, англ. latitude zone ):


На этом рисунке видны две нестандартные зоны долготы — зона 32V расширена для покрытия всей южной Норвегии, а зона 31V сокращена для покрытия только водного пространства.
Для Гомеля и окрестностей зона обозначается как 36U с центральным меридианом 33°:

Зона покрывается прямоугольной (километровой) сеткой (сеткой по универсальной поперечной проекции Меркатора, СУППМ):


Длина стороны квадрата сетки в вышеприведенном фрагменте карты составляет 10 км.

Точка начала системы координат для каждой зоны определяется пересечением экватора и центрального меридиана зоны.
Координата E (Easting ) на такой сетке представляет собой расстояние на карте от центрального меридиана в метрах (к востоку — положительное, к западу — отрицательное), к которому прибавлено + 500 000 метров (англ. False Easting
Координата N (Northing ) на такой сетке представляет собой расстояние на карте от экватора в метрах (к северу — положительное, к югу — отрицательное), причем в южном полушарии это расстояние вычитается из 10 000 000 метров (англ. False Northing ) для избежания появления отрицательных значений.
Например, для левого нижнего угла квадрата сетки на вышеприведенной карте координаты записываются как
36U (либо 36+ ) 380000 5810000 ,
где 36 — longitude zone , U — latitude zone , 380000 — easting , 5810000 — northing .

Преобразование широты и долготы в координаты UTM поясняется рисунком:

P — рассматриваемая точка
F — точка пересечения перпендикуляра, опущенного на центральный меридиан из точки P , с центральным меридианом (точка на центральном меридиане с тем же самым northing , что и рассматриваемая точка P ) . Широта точки F (англ. footprint latitude ) обозначается как $\phi ‘ $ .
O — экватор
OZ — центральный меридиан
LP — параллель точки P
ZP — меридиан точки P
OL = k 0 S — дуга меридиана от экватора
OF = N — northing
FP = E — easting
GN — направление на север сетки карты (англ. grid north )
C — угол схождения меридианов (англ. convergence of meridians ) — угол между направлением на истинный север (англ. true north ) и на север сетки карты

При преобразовании прямоугольных координат (X , Y ) для проекции Гаусса-Крюгера на эллипсоиде WGS84 в прямоугольные координаты (N , E ) для универсальной поперечной проекции Меркатора на том же эллипсоиде WGS84 необходимо учитывать масштабный коэффициент (англ. scale factor ) $k_0 = 0,9996 $ :
$ N = X \cdot k_0 $ ;
$ E = Y_0 + Y \cdot k_0 $ ,
где $ Y_0 = 500 000 $ метров.

Указанный масштабный коэффициент $k_0 = 0,9996 $ верен только для центрального меридиана зоны. При удалении от осевого меридиана масштабный коэффициент изменяется.

Примечание. Погрешность считывания координат с карты (georeferencing accuracy ) обычно принимается равной ±0,2 мм. Именно такую точность имеют устройства, применяемые при создании аналоговой карты.

Геоид

Следует отметить, что более точным приближением поверхности нашей планеты является геоид (англ. geoid ) — эквипотенциальная поверхность земного поля тяжести, т. е. поверхность геоида везде перпендикулярна линии отвеса. Но сила тяжести определяется векторной суммой гравитационной силы со стороны Земли и центробежной силы, связанной с вращением Земли, поэтому потенциал силы тяжести не совпадает с чисто гравитационным потенциалом .
Геоид совпадает со средним уровнем Мирового океана, относительно которого ведется отсчет высот над уровнем моря .
Геоид имеет сложную форму, отражающую распределение масс внутри Земли, и поэтому для решения геодезических задач геоид заменяется эллипсоидом вращения. Наиболее современной математической моделью геоида является EGM2008 , пришедшая на смену популярной модели EGM96 .

Продолжение следует.

При движении судна постоянным истинным курсом линия курса пересекает каждый меридиан под одним и тем же углом и на земной поверхности эта линия получается двоякой кривизны, называемая локсодромией (что в переводе с греческого означает «косой бег»).

Плавание по локсодромии удобно, так как курс судна остается постоянным, а это упрощает все расчеты, связанные с прокладкой. Основные свойства локсодромии, проходящей через две точки, можно выявить из ее уравнения:

Из этого уравнения следует, что при К = 0° или К = 180° tg К = 0, тогда и λ2 - λ1 = 0, следовательно, на истинных курсах 0 или 180° долгота точек не изменяется и локсодромия совпадает с меридианом, превращаясь в дугу большого круга, и в данном случае проходит через земные полюса.

Если уравнение написать в виде

и принять К - 90° или К = 270°, то при этих значениях tg К = ~. Так как разность долгот λ2 - λ1 находящаяся в числителе, не может быть равна бесконечности, то должен быть равен нулю знаменатель, а он может быть равен нулю при 45° + φ1/2 = 45°+ φ2/2 т. е. когда φ1 = φ2.

Рис. 36

Следовательно, при К = = 90° или К = 270° широта точек не изменяется и локсодромия совпадает с параллелью или при φ2 = φ1 = = 0 - с экватором.

Для всех истинных курсов, отличных от 0 - 180° и 90 - 270°, локсодромия по спирали приближается к одному из полюсов, но никогда его не достигает (рис. 36).

Длина отрезка локсодромии, пройденного судном на данном курсе, не является кратчайшим расстоянием на земной поверхности. Кратчайшим расстоянием на земной поверхности при переходе судна из одной точки до другой будет дуга большого круга, называемая ортодромией (что в переводе с греческого означает «прямой бег»).

Ортодромия с каждым меридианом составляет переменные углы. Поэтому плавание по ортодромии требует предварительного вычисления как ее положения, так и курсов, которыми ведут судно по дуге большого круга (см. § 46).

Требования, предъявляемые к морским навигационным картам

При выборе проекции для построения той или иной карты всегда исходят из требований обеспечения решения задач, для которых она предназначается.

Картографическая проекция морских навигационных карт должна быть наиболее удобной для их использования в море, т. е. для решения основных задач по обеспечению безопасности судовождения наиболее простыми способами и приемами.

Исходя из этого, картографическая проекция морских навигационных карт должна удовлетворять следующим требованиям. Чтобы: линия пути судна, идущего постоянным курсом, т. е. локсодромия, изображалась прямой линией;

Величина углов, измеряемых с судна между разными ориентирами на местности, соответствовала величинам углов между теми же ориентирами на карте, т. е. проекция карты должна быть равноугольной; масштаб в пределах карты изменялся в возможно малых пределах т. е. искажения длин на карте не превышали ошибок графических построений и измерений на карте, выполняемых с помощью прокладочного инструмента.

Удовлетворяющие этим требованиям карты построены по проекции, предложенной в 1569 г. голландским картографэм Герардом Кремером, известным под именем Меркатора, поэтому эта проекция называется меркаторской. Меркаторская проекция является равноугольной цилиндрической проекцией, на ней земные меридианы и параллели изображаются прямыми, взаимно перпендикулярными линиями, а локсодромия - прямой, составляющей с меридианами один и тот же угол.

Математическое обоснование принципа меркаторской проекции

Представим, что изображение Земли выполнено в виде глобуса (рис. 37), меридианы на нем сделаны из стальных упругих проволок, закрепленных у полюсов, а параллели - из растягивающегося материала, скрепленные с меридианами.

Рис. 37

Меридианы и параллели окрасим краской и освободим крепления проволочных меридианов у полюсов. Тогда меридианы выпрямятся, а параллели растянутся и на внутренней поверхности цилиндра как бы отпечатаются. Теперь разрежем цилиндр по образующей (по одному из меридианов); на нем будет нанесена прямоугольная сетка (следы параллелей и меридианов), в которой длина меридианов осталась неизменной, а каждая параллель растянулась до длины экватора. При этом параллель, близкая к экватору, растянется меньше, а с увеличением широты растяжение параллелей увеличивается все значительнее. Остров К круглой формы, который был на глобусе, на развернутой плоскости цилиндра спроектируется в виде овала. Для сохранения подобия изображения на глобусе и проекции его на плоскости необходимо соответственно вытянуть по длине и меридианы.

Для доказательства этого положения рассмотрим рис. 38, где обозначим радиус параллели пп через r, широту этой параллели cp, радиус глобуса R.

Рис. 38

Из треугольника пОе, в котором сторона Ое = r, получим r = R - cos φ, a R = r * 1/cos φ или R = r - sec φ. Умножив обе части равенства на 2я, получим 2ПR = 2Пtr*sec φ.

Следовательно, каждая параллель на карте цилиндрической проекции растягивается на величину, пропорциональную секансу своей широты. Поэтому для сохранения подобия фигур на карте фигурам на местности отрезки меридианов необходимо растянуть пропорционально sec φ, чем будет достигнута равноугольность проекции.

Меридиональные части

Расстояния по меридиану от экватора до данных параллелей на меркаторской карте, выраженные в линейных единицах, называются меридиональными частями. Они обозначаются буквой D.

Для удобства меридиональные части выражают длиной дуги экватора в I, называемой экваториальной милей.

В табл. 26 (МТ-63) длина меридиональных частей рассчитана применительно к эллипсоиду Красовского.

Значения в таблице вычислены для широт от 0 до 89° 59" через 1" широты с точностью до 0,1 экваториальной мили. Для определения величины меридиональных частей на промежуточных значениях минуты широты (для десятых долей 1") применяют простое интерполирование.

Пример. Найти меридиональную часть для параллели 50° 18",5.

Решение. По табл. 26 (МТ-6.3) находим:

Расстояние по меридиану на меркаторской проекции между двумя параллелями, выраженное в экваториальных милях, называется разностью меридиональных частей (РМЧ) и обозначается AD.

Разность меридиональных частей двух параллелей равна алгебраической разности меридиональных частей этих параллелей

Пример. Определить разность меридиональных частей параллелей cp1 = 63°40" N и cp2 = 66°20" N.

Решение. По табл. 26 (МТ-63) находим:

Пример. Определить разность меридиональных частей параллелей cp1 = 5°12" N и cp2 = 3°28, 5.

Решение. По табл. 2 6 (МТ-63) имеем:

Меридиональные части используют при построении картографической сетки морских карт в меркаторской проекции, а разность меридиональных частей входит в одну из основных формул письменного счисления (см. гл. VII) .

Разность меридиональных частей двух параллелей, отстоящих друг от друга на 1", даст нам длину отрезка, изображающего на карте меркаторской проекции одну экваториальную минуту в данной широте. Эта разность меридиональных частей представляет не что иное, как изображение одной морской мили на карте меркаторской проекции. Меркаторской милей пользуются как единицей линейного масштаба для измерения широт и расстояний на карте меркаторской проекции.

Поскольку морская миля, как это было указано ранее, имеет постоянную величину на поверхности Земли, то она на морской карте меркаторской проекции изображается отрезками различной длины, в зависимости от широты места, к которому она относится.

Решение. 1) Выбираем меридиональные части для широт 39°30" и 40°30" по табл. 26 (МТ-63) :

Отсюда меркаторская миля в широте 40° равна 78,0/60 = 1,3 экв. мили.

2) выбираем меридиональные части для широт 69°30" и 70°30":

Следовательно, в cp = 70° меркаторекая миля равна 175,4/60 = 2,923 экв. мили. Из этого примера видно, что отношение длины меркаторской мили в cp = 70° к длине ее cp = 40° равно 2,923/1,3 = 2,248, т. е. меркаторская миля в ср = 70° изображается отрезком, в 2,248 раза большим, чем в cp = 40°.

Поэтому при измерении по морской навигационной карте расстояний между какими-либо точками необходимо расстояния в одну милю или в несколько миль брать всегда с боковой рамки карты в той же самой широте, в какой расположены точки. Практически для измерения расстояний на карте меркаторской проекции пользуются длиной меркаторской мили, соответствующей средней широте измеряемой линии.

Главный и частный масштабы карт меркаторской проекции

Главным масштабом на меркаторской карте называется масштаб, отнесенный к экватору (если проекция построена на поверхности касательного к нему цилиндра) или к параллели сечения, называемой главной параллелью (если проекция построена на поверхности секущего цилиндра).

Частный масштаб в меркаторской проекции постоянен по всем направлениям не только в данной точке, но и во всех точках, принадлежащих одной и той же параллели.

За пределами экватора или главной параллели, численное значение частного масштаба будет отличаться от главного масштаба, изменяясь все более по мере удаления к северу или югу от экватора или главной параллели.

Если проекция построена на поверхности касательного цилиндра, то на экваторе увеличение масштаба с = 1, а поскольку каждая параллель равна экватору (растянута в sec φ раз), то на каждой параллели с = sec φ.

Например, в широте 30° увеличение масштаба будет в 1,5 раза, в широте 60° - в 2 раза, а в широте 80° - в 5,75 раза.

При построении проекции на поверхности секущего цилиндра на главной (секущей) параллели увеличение масштаба с = 1.

В такой проекции все параллели становятся равными главной, и при этом все параллели, находящиеся ближе к полюсу, чем главная, растягиваются во столько раз, во сколько секанс широты данной параллели sec φ больше секанса широты главной параллели sес cpг.п. Следовательно, на этих параллелях увеличение масштаба с>1 . Параллели, расположенные к экватору, сокращаются во столько раз, во сколько sec φ ГП. больше sec φ, и, следовательно, с
Так как увеличение масштаба - отношение частного масштаба к главному c = μ/μ0 то частный масштаб μ = cμ0. Если х заменить отношением 1/C (С - знаменатель частного масштаба), а главный масштаб μ0 выразить через 1/C0 где С0 - знаменатель главного масштаба, то знаменатель частного масштаба

штаба для точек каждой параллели при построении проекции на поверхность касательного цилиндра определится из выражения С =
а при построении на поверхность секущего цилиндра С=

Морские карты, как правило, охватывают незначительные участки земной поверхности, поэтому в пределах карты величины главного и частных масштабов мало отличаются друг от друга. По главному масштабу, указанному в заголовке карты, судоводитель выбирает карты для решения тех или иных задач.

Предельная точность масштаба

От масштабов карт и планов зависит точность, с которой на них можно производить линейные измерения.

Линейное расстояние на местности, соответствующее 0,2 мм на карте или плане, называется предельной точностью масштаба. Величина 0,2 мм принята потому, что она приблизительно равна диаметру углубления, получаемого на карте при уколе иглой циркуля, и соответствует минимальной величине, различаемой невооруженным глазом. Величина предельной точности масштаба зависит от масштаба карты. Так, если масштаб карты 1/100000 то эта величина будет 20 м.

Следовательно, линия, проведенная на карте такого масштаба остроотточенным карандашом, будет соответствовать на местности полосе шириной 20 м и на этой карте мы не сможем различить расстояний меньше 20 м.

Вперед
Оглавление
Назад

Проекции в картографии

С давних пор путешественники и мореплаватели занимались составлением карт, изображая в виде рисунков и схем изученные территории. Исторические исследования показывают, что картография появилась в первобытном обществе еще до появления письменности. В современную эпоху благодаря развитию средств передачи и обработки данных, таких как компьютеры, интернет, спутниковая и мобильная связь, важнейшей составляющей информационных ресурсов остается геоинформация, т.е. данные о положении и координатах различных объектов в окружающем нас географическом пространстве.

Современные карты составляются в электронном виде с использованием аппаратов дистанционного зондирования Земли, спутниковой глобальной системы позиционирования (GPS либо ГЛОНАСС) и т. д. Однако сущность картографии остается прежней - это изображение объектов на карте, позволяющее однозначно идентифицировать их, определив положение при помощи привязки к той или иной системе географических координат. Неудивительно поэтому, что одной из основных и самых распространенных сегодня картографических проекций является равноугольная цилиндрическая проекция Меркатора, впервые примененная для создания карт четыре с половиной века назад

Работа древних землемеров не выходила за пределы геодезических измерений и расчетов для расстановки вех вдоль маршрута будущей дороги или обозначения границ земельных участков. Но посте­пенно накапливалось множество данных – расстояния между городами, препятствия на пути, расположение водных объектов, лесных массивов, особенности ландшафта, границы государств и материков. Карты захватывали все большие территории, становились более детальными, но при этом возрастала и их погрешность.

Поскольку Земля представляет собой геоид (фигуру, близкую к эллипсоиду), для изображения поверхности геоида Земли на карте необходимо развернуть, спроецировать эту поверхность на плоскость тем или иным способом. Методы отображения геоида на плоской карте называются картографическими проекциями. Существует несколько видов проекций, и каждая из них вносит в плоское изображение свои искажения длин, углов, площадей или формы фигур.

Как сделать точную карту?

Полностью избежать искажений при построении карты невозможно. Однако можно избавиться от какого-либо одного типа искажений. Так называемые равновеликие проекции сохраняют площади, но при этом искажают углы и формы. Равновеликими проекциями удобно пользоваться в экономических, почвенных и других мелкомасштабных тематических картах – для того, чтобы с их помощью рассчитывать, например, площади территорий, подвергшихся загрязнению, или управлять лесными хозяйствами. Примером такой проекции служит равновеликая коническая проекция Альберса , разработанная в 1805 г. немецким картографом Хейнрихом Альберсом.

Равноугольные проекции - это проекции без искажений углов. Такие проекции удобны для решения навигационных задач. Угол на местности всегда равен углу на такой карте, а прямая линия на местности изображается прямой линией на карте. Это позволяет мореплавателям и путешественникам прокладывать маршрут и точно следовать ему с помощью показаний компаса. Однако линейный масштаб карты при такой проекции зависит от положения точки на ней.

Самой древней равноугольной проекцией считается стереографическая проекция, которая была придумана Аполлонием Пергским около 200 г. до нашей эры. Эта проекция и по сей день используется для карт звезд­ного неба, в фотографии – для отображения сфериче­ских панорам, в кристаллографии – для изображения точечных групп симметрии кристаллов. Но использование этой проекции в мореплавании было бы затруднительным в силу слишком больших линейных искажений.

Проекция Меркатора

В 1569 г. фламандский географ Герхард Меркатор (латинизированное имя Герарда Кремера) разработал и впервые применил в своем атласе (полное название «Атлас, или Космографические рассуждения о сотворении мира и вид сотворенного») равноугольную цилиндрическую проекцию , названную впоследствии его именем и ставшую одной из основных и самых распространенных картографических проекций.

Для построения цилиндрической проекции Меркатора земной геоид помещают внутри цилиндра так, чтобы геоид касался цилиндра по экватору. Проекцию получают, проводя лучи из центра геоида до пересечения с поверхностью цилиндра. Если после этого цилиндр разрезать вдоль оси и развернуть, то получится плоская карта поверхности Земли. Образно это можно представить следующим образом: глобус оборачивается листом бумаги по экватору, в центр глобуса помещается лампа и на листе бумаги отображаются спроецированные лампой изображения материков, островов, рек и т. п. Если бы на бумагу был нанесен способный засвечиваться слой, то, развернув лист, мы получили бы готовую карту.

Полюса в такой проекции расположены на бесконечном расстоянии от экватора, и, следовательно, не могут быть изображены на карте. На практике карта имеет верхний и нижний пределы широт – примерно до 80° СШ и ЮШ.

Параллели и меридианы картографической сетки изображаются на карте параллельными прямыми линиями, при этом они всегда перпендикулярны. Расстояния между меридианами одинаковы, а вот расстояние между параллелями равно расстоянию между меридианами вблизи экватора, но быстро увеличивается при приближении к полюсам.

Масштаб в этой проекции не является постоянным, он увеличивается от экватора к полюсам как обратный косинус широты, но масштабы по вертикали и по горизонтали всегда равны.

Равенство вертикального и горизонтального масштабов обеспечивает равноугольность проекции – угол между двумя линиями на местности равен углу между изображением этих линий на карте. Благодаря этому хорошо отображается форма небольших объектов. Но искажения площади увеличиваются по направлению к полярным регионам. Например, несмотря на то, что Гренландия составляет всего одну восьмую размера Южной Америки, в проекции Меркатора она представляется больше. Большие искажения площадей делают проекцию Меркатора непригодной для общегеографических карт мира.

Линия, проведенная между двумя точками на карте в этой проекции, пересекает меридианы под одним и тем же углом. Эта линия называется румбом или локсо­дромией . Надо отметить, что эта линия не описывает кратчайшее расстояние между точками, но в проекции Меркатора всегда изображается прямой линией. Этот факт делает проекцию идеальной для нужд навигации. Если мореплаватель желает отправиться, например, из Испании в Вест-Индию, все, что ему нужно сделать, это провести линию между двумя точками, и штурман будет знать, какого направления по компасу постоянно придерживаться, чтобы приплыть к месту назначения.

С точностью до сантиметра

Для применения проекции Меркатора (как, впрочем, и любой другой) необходимо определить систему координат на земной поверхности и корректно выбрать так называемый референц-эллипсоид – эллипсоид вращения, приближенно описывающий форму поверхности Земли (геоида). Для местных карт в России в качестве такого референц-эллипсоида с 1946 г. используется эллипсоид Красовского. В большинстве европейских стран вместо него используется эллипсоид Бесселя. Самым популярным в наши дни эллипсоидом, предназначенным для составления общемировых карт, является мировая геодезическая система 1984 г. WGS-84. Она определяет трехмерную систему координат для позиционирования на земной поверхности относительно центра масс Земли, погрешность составляет менее 2 см. Классическая равноугольная цилиндрическая проекция Меркатора применяется к соответствующему эллипсоиду. Так, например, сервис Яндекс.Карты использует эллиптическую WGS-84 проекцию Меркатора.

В последнее время в связи со стремительным развитием картографических веб-сервисов большое распространение получил другой вариант проекции Меркатора – на базе сферы, а не эллипсоида. Этот выбор обусловлен более простыми расчетами, которые могут быть быстро выполнены клиентами этих сервисов прямо в браузере. Часто эту проекцию называют «сфериче­ским Меркатором» . Такой вариант проекции Меркатора используется сервисами Google Maps , а также 2ГИС .

Еще одним известным вариантом проекции Меркатора является равно­угольная проекция Гаусса-Крюгера . Она была введена выдающимся немецким ученым Карлом Фридрихом Гауссом в 1820-1830 гг. для картографирования Германии – так называемой ганноверской триангуляции . В 1912 и 1919 гг. ее развил немецкий геодезист Л. Крюгер.

По сути, она является поперечной цилиндрической проекцией. Поверхность земного эллипсоида делится на трех- или шестиградусные зоны, ограниченные меридианами от полюса до полюса. Цилиндр касается среднего меридиана зоны, и она проецируется на этот цилиндр. Всего можно выделить 60 шестиградусных или 120 трехградусных зон.

В России для топографических карт масштаба 1: 1000000 применяют шестиградусные зоны. Для топографических планов масштаба 1: 5000 и 1:2000 применяются трехградусные зоны, осевые меридианы которых совпадают с осевыми и граничными меридианами шестиградусных зон. При съемках городов и территорий под строительство крупных инженерных сооружений могут быть использованы частные зоны с осевым меридианом посередине объекта.

Многомерная карта

Современные информационные технологии позволяют не просто нанести контуры объекта на карту, но и менять его вид в зависимости от масштаба, связать с его географическим положением множество других атрибутов, таких как адрес, информация о расположенных в данном здании организациях, количество этажей и т. п., делая электронную карту многомерной, разномасштабной, интегрируя в ней одновременно несколько справочных баз данных. Для обработки этого массива информации и представления его в удобном для пользователя виде необходимы достаточно сложные программные продукты, так называемые геоинформационные системы , разработку и поддержку которых могут осуществить лишь достаточно крупные, обладающие необходимым опытом IT-компании. Но, несмотря на то, что современные электронные карты мало похожи на своих бумажных предшественников, все равно в их основе лежат картография и тот или иной способ отображения земной поверхности на плоскость.

Для иллюстрации методов современной картографии можно рассмотреть опыт работы компании «Дата Ист» (Новосибирск), занимающейся разработкой программного обеспечения в области геоинформационных технологий.

Проекция, которая выбирается для построения электронной карты, зависит от назначения карты. Для карт общего пользования и для навигационных карт, как правило, применяется проекция Меркатора с системой координат WGS-84. Например, эта система координат использовалась в проекте «Мобильный Новосибирск» , созданном по заказу мэрии города Новосибирска для городского муниципального портала .

Для крупномасштабных карт с целью минимизации линейных искажений используются как зональные равноугольные проекции (Гаусса-Крюгера), так и неравноугольные проекции (например, коническая равно­промежуточная проекция – Equidistant conic ).

Сегодня карты создаются с широким привлечением аэрофотосъемки и спутниковых фотографий. Для качественной работы над картами в компании «Дата Ист» создан архив космических снимков, охватывающих территории Новосибирской, Кемеровской, Томской, Омской областей, Алтайского края, Республик Алтай и Хакасия, других регионов России. С помощью этого архива, кроме крупномасштабных карт территории, можно изготавливать схемы отдельных объектов и участ­ков под заказ. При этом в зависимости от территории и необходимого масштаба применяется та или иная проекция.

Со времен Меркатора картография изменилась радикально. Информационная революция затронула эту область человеческой деятельности, наверное, больше всех. Вместо томов бумажных карт теперь каждому путешественнику, туристу, водителю доступны компактные электронные навигаторы, содержащие в себе массу полезной информации о географических объектах.

Но суть карт осталась той же – показать нам в удобном и ясном виде, с указанием точных географических координат, расположение объектов окружающего нас мира.

Литература

ГОСТ Р 50828-95. Геоинформационное картографирование. Пространственные данные, цифровые и электронные карты. Общие требования. М., 1995.

Капралов Е. Г. и др. Основы геоинформатики: в 2 кн. / Учеб. пособие для студ. вузов / Под ред. Тикунова В. С. М.: Академия, 2004. 352, 480 c.

Жалковский Е. А. и др. Цифровая картография и геоинформатика / Краткий терминологический словарь. М.: Картгеоцентр-Геодезиздат, 1999. 46 с.

Баранов Ю. Б. и др. Геоинформатика. Толковый словарь основных терминов. М.: ГИС-Ассоциация, 1999.

ДеМерс Н. Н. Географические информационные системы. Основы.: Пер. с англ. М.: Дата+, 1999.

Карты любезно предоставлены ООО «Дата Ист» (г. Новосибирск)

Проекция Меркатора

Равноугольная цилиндрическая проекция впервые была предложена и применена в 1569 году голландским картографом Меркатором.

Для вывода формул этой проекции определим сначала масштаб по параллелям в простейшей из цилиндрических проекций в так называемой квадратной проекции. В этой проекции меридианы и параллели, проведенные через одинаковое число градусов по долготе и широте, образуют на карте сетку квадратов, причем сохраняются длины по всем меридианам и экватору (проекция равнопромежуточная).

Пусть PC0A0 и PD0B0 (рис. 1) -меридианы на глобусе радиуса R с бесконечно малой разностью долгот, а прямые

Рис. 1. Два меридиана и две параллели на глобусе и на карте в цилиндрической проекции

СА и DB - соответствующие меридианы на карте в квадратной проекции.

Тогда бесконечно малому отрезку С0D0 произвольной параллели с широтой и радиусом r на глобусе будет соответствовать на карте бесконечно малый отрезок CD, и масштаб по параллели

CD = AB = A 0 B 0 ,

Где A0B0 - дуга экватора.

Так как отношение дуг окружностей равно отношению их радиусов, то

Из ОС 0С" , где ОС 0С" = Имеем

Следовательно,

Из формулы видно, что масштаб по параллели в квадратной проекции изменяется от единицы до бесконечности, причем единице он равен на экваторе (при = 0°), а бесконечности-в точке полюса (при = 90°). Полюс в квадратной проекции изобразится отрезком прямой, равным по длине экватору.

Теперь, чтобы сделать масштаб по меридианам равным масштабу по параллелям (m=n), т. е. чтобы перейти от квадратной проекции к равноугольной (от эллипсов искажений к кругам), необходимо меридианы квадратной проекции растянуть в каждой точке во столько раз, во сколько раз параллели этой проекции увеличены по отношению к соответствующим параллелям глобуса, т. е. в Раз. Следовательно, для превращения в первом приближении квадратной картографической сетки в картографическую сетку равноугольной проекции необходимо отрезки меридиана ОА, АВ, ВС и т. д. (рис. 2) соответственно умножить

Рис. 2. Превращение квадратной проекции в равноугольную цилиндрическую

на 1, 2, 3 и т. д., где 1,2, 3 - соответственно широты середин этих отрезков. Тогда меридианный отрезок ОС1 в равноугольной проекции, соответствующий отрезку ОС в квадратной проекции, представится выражением

ОС1 = О A 1 + A 1 В1, + В1С1 = О A 1 + AB 2 + BC 3 ,

А так как отрезки

ОА = АВ = ВС ,

ОС 1 =ОА (1 +2 +3).

Меридианный отрезок ОС 1 будет определен тем точнее, чем меньшими будут взяты составляющие его отрезки, поскольку растяжение меридианов должно носить непрерывный характер от экватора до данной параллели.

Наиболее точный результат будет получен тогда, когда меридианный отрезок D в проекции Меркатора будет состоять из суммы бесконечно большого количества бесконечно малых величин

,

Где Dx - бесконечно малый отрезок меридиана в квадратной проекции,

DD - соответствующий ему бесконечно малый отрезок меридиана в равноугольной проекции Меркатора. Но ввиду постоянства масштаба по меридианам в квадратной проекции отрезок

Сумму же бесконечно малых величин в высшей математике называют интегралом. Взять интеграл от обеих частей равенства это значит взять сумму бесконечно малых величин этих частей равенства в определенных пределах.

Интеграл от выражения в пределах значения широты от 0 до Напишем так

В результате интегрирования в левой части равенства получим меридианный отрезок D; правая же часть равенства представляет собой табличный интеграл, равный

Таким образом, меридианный отрезок

,

где С-постоянная интеграции.

Величина, С должна быть постоянной при всех значениях широты, поэтому ее легко определить, взяв = 0°. При = 0° параллель соответствует экватору, для которого D = 0, т. е.

Следовательно,

Переходя от натурального логарифма к десятичному и выражая D в главном масштабе карты и в сантиметрах, будем иметь окончательную рабочую формулу для вычисления меридианного отрезка D в равноугольной цилиндрической проекции для шара

(29)

Где Mod =0,4343.

Формула показывает, что меридианный отрезок D для полюса ( = 90°) равен бесконечности, т. е. полюс на карте в этой проекции не изобразится.

Принимая же Землю за эллипсоид, будем иметь формулу

(30)

Где а - радиус экватора земного эллипсоида (выражен в метрах),

U - та же величина, что и в формуле (22) равноугольной конической проекции.

Расстояния между меридианами в равноугольной проекции, как и в квадратной проекции, определяются по формуле

Где выражено в радианной мере. Принимая Землю за эллипсоид и выражая в главном масштабе карты и в сантиметрах, будем иметь

Часто эта формула пишется в виде

(31)

Где У - расстояние от среднего меридиана карты до определяемого,

°-разность долгот среднего и определяемого меридианов, выраженная в градусах, °=57°,3.

Очевидно, что искажения в равноугольной цилиндрической проекции на касательном цилиндре будут выражаться формулами

(32)

Для вычисления меридианных отрезков D, ординат у и масштабов в равноугольной цилиндрической проекции на секущем цилиндре рабочие формулы будут иметь вид

(34)

(35)

(37)

Где r0- радиус параллели сечения с широтой 0 на земном эллипсоиде,

r-радиус параллели с широтой на земном эллипсоиде, по которой определяется масштаб,

Главный масштаб карты,

°- разность долгот среднего и определяемого меридианов, выраженная в градусах.

Картографическая сетка в проекции Меркатора

Для построения картографической сетки в проекции Меркатора и нанесения опорных пунктов на составляемую карту необходимо знать прямоугольные координаты (меридианный отрезок D и ординату у) точек пересечения меридианов и параллелей и опорных пунктов.

Значение D по аргументу широты среднее выбирается из специальных таблиц, составленных Гидрографическим управлением ВМФ, а значение у вычисляется по формуле (35).

За начало координат на морских картах берется точка пересечения среднего меридиана и главной параллели морского бассейна, для которого составляются карты. Эта параллель является параллелью сечения, и масштаб по ней равен единице.

Зная прямоугольные координаты вершин углов рамки листа карты, находят размеры сторон этой рамки, как разности меридианных отрезков D для южной и северной параллелей и разности значений у для западного и восточного меридианов. По найденным размерам сторон строят прямоугольник (внутреннюю рамку листа), который будет являться основой для построения промежуточных меридианов и параллелей карты, а также для нанесения опорных пунктов.

Меридианы и параллели в проекции Меркатора изображаются параллельными и взаимно-перпендикулярными прямыми, поэтому для их построения достаточно определить меридианные отрезки D. Для точек пересечения параллелей карты с осью X и ординаты у для точек пересечения меридианов карты с осью У. Когда эти значения найдены, определяют разности D - Dю и у - у3 для указанных точек. Здесь Dю - меридианный отрезок южной параллели, а уз- ордината западного меридиана. Эти разности откладывают от вершины юго-западного угла рамки по западной и южной сторонам и через точки отложения проводят линии, параллельные соответственно южной и боковой сторонам, которые и будут являться параллелями и меридианами карты.

Рис 3 Картографическая сетка в равноугольной цилиндрической проекции (Меркатора)

На рис. 3 показана картографическая сетка в равноугольной цилиндрической проекции (на касательном цилиндре) для изображения земного шара. Значения масштабов в этой проекции приведены в таблице 4.

Таблица 4

Масштабы в равноугольной цилиндрической проекции Меркатора.

Благодаря тому, что проекция Меркатора является равноугольной, а меридианы изображаются в ней параллельными прямыми, она обладает одним замечательным свойством: линия, пересекающая все меридианы под одним и тем же углом, изображается в этой проекции прямой. Такая линия называется локсодромией. Движущееся судно, если оно с помощью компаса держит один и тот же курс, фактически идет по локсодромии. Указанное свойство проекции Меркатора привело к широкому ее использованию для морских карт.

Рис. 4. Ортодромия и локсодромия на карте в проекции Меркатора

Ортодромия и локсодромия

По карте, составленной в проекции Меркатора, легко и просто отмечать путь судна и определять его постоянный курс, т. е. направление, по которому оно должно двигаться, чтобы попасть из одной точки в другую. Постоянный курс судна определяется путем измерения транспортиром угла между прямой, соединяющей эти точки на карте, и одним из меридианов.

Однако следует заметить, что при большом расстоянии между точками А и В (рис. 4) локсодромия на сфере значительно отходит в сторону от ортодромии (кратчайшего расстояния между этими точками), которая в проекции

Рис. 5. Ортодромия и локсодромия между Нью-Йорком и Москвой на карте в проекции Меркатора.

Меркатора изображается кривой линией. В этом случае штурман ведет судно не по одному курсу, а по нескольким, меняя направление движения в определенных точках (а и b). Путь судна при этом изобразится на карте в виде ломаных линий хорд, вписанных в ортодромию. Применительно к рисунку, судно из точки А к точке А пойдет под азимутом из точки А к точке b - под азимутом , из точки b к конечной точке В - под азимутом .

Для наглядности можно указать (рис. 5), что между Нью-Йорком и Москвой длина ортодромии составляет 7507 км, а локсодромии - 8371 км, т. е. разница между их длинами равна 864 км. Наибольшее удаление точек локсодромии от ортодромии здесь достигает 1650 км.

Второе удобство проекции Меркатора в применении ее для морских навигационных карт состоит в том, что она позволяет легко, с достаточной для практики точностью, определять по карте расстояния в морских милях, не прибегая при этом к построению особых масштабов, а пользуясь лишь делениями (в градусах или минутах), нанесенными на боковых сторонах рамки карты. Морская миля равна 1852 м, что приблизительно соответствует средней длине дуги меридиана в одну минуту.

Если, например, по карте требуется определить в морских милях расстояние АВ (рис. 42), то, сняв раствором циркуля отрезок АВ, прикладывают циркуль к ближайшей боковой стороне рамки карты так, чтобы середина отрезка- точка С-оказалась на средней широте точек А и В (в точке С1). Количество меридианных минут, подсчитанное в пределах этого отрезка, и будет выражать расстояние АВ в морских милях (на рис. 6 отрезок А В = 215 миль).

В заключение необходимо отметить, что при составлении топографических и обзорно-топографических карт различных масштабов широко используются в качестве картографического материала различные Морские карты, составленные в равноугольной цилиндрической проекции. Поэтому знание особенностей этой проекции имеет большое практическое значение.

Рис. 6. Определение расстояния АВ в милях по карте в проекции Меркатора

Упражнение

Вычислить меридианный отрезок D и ординату «у» в равноугольной цилиндрической проекции на касательном цилиндре для точки с географическими координатами = 30°, 35° (от среднего меридиана, принятого за ось X) при = 1:5000000. Эллипсоид Красовского.

Равноугольная цилиндрическая проекция - 5.0 out of 5 based on 1 vote